设V是复数域上一个n维向量空间,σ是V的一个线性变换。令是定理1的那个准素分解,令W是V的一个在σ之下不变的子空间。证明:这里Wi=W∩V,i=1,2,...,k。
设A是n*n常数矩阵(n>1),X是由未知数X1、X2、…、Xn组成的列向量,B是由常数b1、b2、…、bn组成的列向量,线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件不是______。
A.A的秩等于n
B.A的秩不等于0
C.A的行列式值不等于0
D.A存在逆矩阵
令V=Mn(C)是复数域上全体n阶矩阵所组成的n2维向量空间,令A是任意一个n阶复矩阵。如下地定义V的一个线性变换αA:V→V:对于任意X∈V=Mn(C),αA(X)=AX-AX。
(i)证明,r是非负整数,由此推出,如果A是幂零矩阵,那么αA是V的幂零变换;
(ii)如果A=D+N是A的若尔当分解,其中D是A的可对角化部分,N是幂零部分,那么αD和αN分别是线性变换αA的若尔当分解。
设f(x),g(x)∈Px,f(x)g(x)≠0,令{f(x)}={h(x)∈P|x|f(x)h(x)}
试证:
1)是P[x]的线性子空间:
2)
3)
这里f(x).g(x).(f(x)g(x))分别为f(x),g(x]的首一的最小公倍式与最大公因式.
设是n维实向量,且
α1,α2,···,αr线性无关。已知β=(b1,b2,···,bn)T是线性方程组
的非零解向量,试判断向量组α1,α2,···,αr,β的线性相关性。
设随机向量(X,Y)的概率密度为:
(1)确定常数A的值;
(2)求关于X和关于Y的边缘密度,并判定其独立性;
(3)计算P{0≤X≤1/2,0≤Y≤1/3}。