证明:设A,B都是n阶正交方阵,则(1)|A|=1或-1(2)AT,A-1,AB也是正交方阵。(2) A正交
证明:设A,B都是n阶正交方阵,则
(1)|A|=1或-1(2)AT,A-1,AB也是正交方阵。
(2) A正交方阵,得ATA=E,由AAT=E得AT正交方阵。又A-1=AT, 故A-1正交方阵。A,B是n阶正交矩阵,故A-1=AT,B-1=BT。(AB)T(AB) =BTATAB=B-1A-1AB=E, 故AB也是正交方阵。
证明:设A,B都是n阶正交方阵,则
(1)|A|=1或-1(2)AT,A-1,AB也是正交方阵。
(2) A正交方阵,得ATA=E,由AAT=E得AT正交方阵。又A-1=AT, 故A-1正交方阵。A,B是n阶正交矩阵,故A-1=AT,B-1=BT。(AB)T(AB) =BTATAB=B-1A-1AB=E, 故AB也是正交方阵。
设A是复数域C上一个n阶矩阵。
(i)证明:存在C上n阶可逆矩阵T,使得
(ii)对n作数学归纳法证明,复数域C上任意一个n阶矩阵都与一个上三角形矩阵
相似,这里主对角线以下的元素都是零。
阅读以下说明和C语言程序,将应填入(n)处的字句写在对应栏内。
【说明】
魔方阵,又叫幻方,在我国古代称为“纵横图”。由1…N2共N2个自然数构成每行、每列及两对角线上各数之和都相等的N×N方阵,这样的方阵就叫做N阶魔方阵。顾名思义,奇阶魔方阵就是N为奇数的幻方。
奇数阶魔方阵的生成方法如下:
(1)第一个位置在第一行正中。
(2)新位置应当处于最近一个插入位置右上方,但如果右上方位置已超出方阵上边界,则新位置取应选列的最下一个位置;如果超出右边界,则新位置取应选行的最左一个位置。
(3)若最近一个插入元素为N的整数倍,则选下面一行同列上的位置为新位置。本题要求输入一个数据n,然后打印由自然数1到n2的自然数构成的魔方阵(n为奇数)。例如,当n=3时,魔方阵为:
8 1 6
3 5 7
4 9 2
了解其生成方法后,就可以根据此方法来写出程序了。首先设置int变量i,j,m, n。其中i标记魔方阵的行;j标记魔方阵的列;n表示魔方阵的维数,通过输入得到;通过m递加得到插入的数据。数组a[MAX][MAX]用于存放魔方阵元素。这里预定义了 MAX的大小,没有采用动态分配,在此设置为15,即最大求得15×15阶魔方阵。
【程序】
include <stdio.h>
define MAX 15
void main()
{
int n;
int m=1;
int i,j;
int a[MAX][MAX];
printf("Please input the rank of matrix:");
scanf("%d",&n);
i=0;
(1)
while((2))
a[i][j]=m;
m++;
i--;
j++;
if((m-1)%n==0 && m>1)
{
(3)
j=j-1;
}
if(j>(n-1)) //超出上界
(4)
if(j>(n-1))
(5)
}
for(i=0;i<n;i++) //输出魔方阵
for(j=0;j<n;j++)
{
if(a[i][j]/10==0)
printf("%d ",a[i][j]); //对程序无影响,只是使输出的数每一列对齐
else
printf("%d ",a[i][j]);
if(j==(n-1))
printf("\n");
}
}
设V是对于非退化对称双线性函数f(α,β)的n维准欧氏空间,V的一组基ε1,...,εn如果满足
则称为V的一组正交基。如果V上的线性变换满足
则称为V的一个准正交变换。试证:
1)准正交变换是可逆的,且逆变换也是准正交变换;
2)准正交变换的乘积仍是准正交变换;
3)准正交变换的特征向量α,若满足f(α,α)≠0,则其特征值等于1或-1;
4)准正交变换在正交基下的矩阵T满足