证明:反称实矩阵正交相似于准对角矩阵其中bi(i=1,...,s)是实数。
证明:反称实矩阵正交相似于准对角矩阵
其中bi(i=1,...,s)是实数。
证明:反称实矩阵正交相似于准对角矩阵
其中bi(i=1,...,s)是实数。
检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间:
1)次数等于n(n≥1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法;
2)设A是一个nxn实矩阵,A的实系数多项式f(A)的全体,对于矩阵的加法和数量乘法;
3)全体n级实对称(反称,上三角形)矩阵,对于矩阵的加法和数量乘法;
4)平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法;
5)全体实数的二元数列,对于下面定义的运算:
6)平面上全体向量,对于通常的加法和如下定义的数量乘法:
7)集合与加法同6),数量乘法定义为
8)全体正实数R+,加法与数量乘法定义为
阅读以下说明和流程图,将应填入(n)处的字句写在对应栏内。
【说明】
在一个矩阵中,如果其零元素的个数远远多于其非零元素的个数时,称这样的矩阵为稀疏矩阵。稀疏矩阵通常采用三元组数组表示。每个非零元素用一个三元组来表示,即非零元素的行号、列号和它的值。然后按某种顺序将全部非零元素的三元组存于一个数组中。例如,对于以下二维数组:
int x[3][4]={{1,0,0,0},{0,5,0,0),{0,0,7,2}};
可用以下数组a来表示:
int a[][3]={{3,4,4},{0,0,1},{1,1,5),{2,2,7},{2,3,2}};
其中三元数组a的第1行元素的值分别存储稀疏矩阵×的行数、列数和非零元素的个数。
下面的流程图描述了稀疏矩阵转换的过程。
【流程图】
设A是一个n级可逆复矩阵,证明:A可以分解成A=UT。其中U是酉矩阵,T是一个上三角形矩阵:
其中对角线元素tii(i=1,2,...,n)都是正实数,并证明这个分解是唯一的。
阅读下列程序说明和C程序,把应填入其中(n)处的字句,写在对应栏内。
【程序说明】
对角线下元素全为0的矩阵称为上三角矩阵,设对于一个n×n的上三角矩阵a,为节约存贮,只将它的上三角元素按行主序连续存放在数组b中。下面的函数trans在不引入工作数组的情况下,实现将a改为按列主序连续存放在数组b中。
设n=5,
b=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15)
经调用trans函数后,b变为
b=(1,2,6,3,7,10,4,8,11,13,5,9,12,14,15)
函数tans对数组元素的存贮位置作调整。调整过程中存在若干个循环传送链:
b(i1)→b(i2)→b(ij)→b(i1)1≤j<n
例如,考察调整后的数组元素b(2)(值为6),与该元素相关的位置调整将形成下面的循环传送链:
b(2)→b(3)→b(6)→……→b(12)→b(9)→b(5)→b(2)
关键是确定循环传送链的下标i1,i2,…,ij,以及在考察调整后的元素b(k)(k;3,4,…)时能判定b(k)是已被传送过的某传送链上的元素。
函数ctr(k,n)计算调整后的数组b的第k个元素b(k)在原数组b中的位置,该位置作为函数ctr(k,n)的返回值。函数ctr根据k确定它在矩阵中的行号i和列号j(注意行号和列号均从 0算起),然后按矩阵存放原则计算出它在b中的位置。
【程序】
trans(b,n)
int n,b[]
{
int m,k,r,cc,rr;
int w;
m=(n+1)*n/2-4;
k=2;
while(m>0)
{
r=ctr(k,n);
if(r==k)
m--;
else
{
cc=k;rr=r;
while (1)
{
cc=rr,rr=ctr(cc,n);
}
if (2)
{
cc=k;rr=r;w=b[k];
while (3)
{
b[cc]=b[rr];m--;
cc=rr,rr=ctf(cc,n);
}
b[cc]-w; (4);
}
}
k++;
}
}
ctr(k,n )
int k,n
{
int i,j;
i=k;j=0;
while (5)
i - =++j ;
return(i*n+j-i*(i+1)/2);
}