是n维线性空间V上的线性变换,证明:1)若在V的某基下矩阵A是某多项式d(λ)的友矩阵,则的最小多项
是n维线性空间V上的线性变换,证明:
1)若在V的某基下矩阵A是某多项式d(λ)的友矩阵,则的最小多项式是d(λ);
2)设的最高次的不变因子是d(λ),则的最小多项式是d(λ)。
是n维线性空间V上的线性变换,证明:
1)若在V的某基下矩阵A是某多项式d(λ)的友矩阵,则的最小多项式是d(λ);
2)设的最高次的不变因子是d(λ),则的最小多项式是d(λ)。
设ε1,ε2,ε3,ε4四维线性空间V的一组基,已知线性变换在这组基下的矩阵为
1)求在基下的矩阵;
2)求的核与值域;
3)在的核中选一组基,把它扩充成V的一组基,并求在这组基下的矩阵;
4)在的值域中选一组基,把它扩充成V的一组基,并求在这组基下的矩阵。
1)设α,β是n维欧氏空间V中两个不同的单位向量,证明:存在一镜面反射使
2)证明:n维欧氏空间V中任一正交变换都可以表成一系列镜面反射的乘积。
判别下面所定义的变换,哪些是线性的,哪些不是:
1)在线性空间V中,其中α∈V是一固定的向量;
2)在线性空间V中,其中α∈V是一固定的向量;
3)在P3中;
4)在P3中;
5)在P[x]中;
6)在P[x]中,其中x0∈P是一固定的数;
7)把复数域看作复数域上的线性空间,
8)在Pnxn中,,其中B,C∈Pnxn是两个固定的矩阵。
设ε1,ε2,ε3是线性空间V的一组基,f1,f2,f3是它的对偶基,
试证α1,α2,α3是V的一组基并求它的对偶基(用f1,f2,f3表出)。
检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间:
1)次数等于n(n≥1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法;
2)设A是一个nxn实矩阵,A的实系数多项式f(A)的全体,对于矩阵的加法和数量乘法;
3)全体n级实对称(反称,上三角形)矩阵,对于矩阵的加法和数量乘法;
4)平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法;
5)全体实数的二元数列,对于下面定义的运算:
6)平面上全体向量,对于通常的加法和如下定义的数量乘法:
7)集合与加法同6),数量乘法定义为
8)全体正实数R+,加法与数量乘法定义为
设A∈Pnxn。
1)证明:全体与A可交换的矩阵组成Pnxn的一子空间,记作C(A);
2)当A=E时,求C(A);
3)当
时,求C(A)的维数和一组基。
设f(x1,...,xn)是一秩为n的二次型,证明:存在R+的一个维子空间V1(其中s为符号差数),使对任一(x1,...,xn)∈V1有(x1,...,xn)=0。
A.1/3
B.1
C.3
D.9
A.仅Ⅲ和Ⅳ
B.仅Ⅱ和V
C.仅I和V
D.仅Ⅱ、Ⅲ和Ⅵ