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[主观题]
令是一个n阶矩阵。（i)计算A2，A3，...，An-1;（ii)求A的全部特征根。
令
是一个n阶矩阵。
(i)计算A2，A3，...，An-1;
(ii)求A的全部特征根。
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是一个n阶矩阵。
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试题四（15分）
阅读下列说明和C代码，回答问题1至问题3，将解答写在答题纸的对应栏内。
【说明】
某工程计算中要完成多个矩阵相乘（链乘）的计算任务。
两个矩阵相乘要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，计算量主要由进行乘法运算的次数决定。采用标准的矩阵相乘算法，计算Am*n*Bn*p，需要m*n*p次乘法运算。
矩阵相乘满足结合律，多个矩阵相乘，不同的计算顺序会产生不同的计算量。以矩阵A110*100，A2100*5，A35*50三个矩阵相乘为例，若按（A1*A2）*A3计算，则需要进行10*100*5+10*5*50=7500次乘法运算；若按A1*（A2*A3）计算，则需要进行100*5*50+10*100*50=75000次乘法运算。可见不同的计算顺序对计算量有很大的影响。
矩阵链乘问题可描述为：给定n个矩阵＜A1,A2,….An＞，矩阵Ai的维数为pi-1*Pi，其中i = 1,2,….n。确定一种乘法顺序，使得这n个矩阵相乘时进行乘法的运算次数最少。
由于可能的计算顺序数量非常庞大，对较大的n，用蛮力法确定计算顺序是不实际的。经过对问题进行分析，发现矩阵链乘问题具有最优子结构，即若A1*A2*…*An的一个最优计算顺序从第k个矩阵处断开，即分为A1*A2*….Ak和Ak+1*Ak+2*…*An两个子问题，则该最优解应该包含A1*A2*…*Ak的一个最优计算顺序和Ak+1*Ak+2*…An的一个最优计算顺序。据此构造递归式，
其中，cost[i][j]表示Ai+1*Ai+2*...Aj+1的最优计算的计算代价。最终需要求解cost[0][n-1]。
【C代码】
算法实现采用自底向上的计算过程。首先计算两个矩阵相乘的计算量，然后依次计算3个矩阵、4个矩阵、…、n个矩阵相乘的最小计算量及最优计算顺序。下面是算法的C语言实现。
（1）主要变量说明
n：矩阵数
seq[]：矩阵维数序列
cost[][]：二维数组，长度为n*n，其中元素cost[i][j]表示Ai+1*Ai+2*…Aj+1的最优计算的计算代价
trace[][]：二维数组，长度为n*n，其中元素trace[i][j]表示Ai+1*Ai+2*Aj+1的最优计算对应的划分位置，即k
（2）函数cmm
define N 100
intcost[N][N];
inttrace[N][N];
int cmm(int n,int seq[]){
int tempCost;
int tempTrace;
int i,j,k,p;
int temp;
for(i=0;i＜n;i++){ cost[i][i] =0;}
for(p=1;p＜n;p++){
for(i=0; （1） ;i++){
（2）;
tempCost = -1;
for(k = i;k＜j;k++){
temp = （3） ;
if(tempCost==-1||tempCost＞temp){
tempCost = temp;
（4） ；
}
}
cost[i][j] = tempCost;
trace[i][j] = tempTrace;
}
}
return cost[0][n-1];
}
【问题1】（8分）
根据以上说明和C代码，填充C代码中的空（1）~（4）。
【问题2】（4分）
根据以上说明和C代码，该问题采用了 （5） 算法设计策略，时间复杂度 （6） 。（用O符号表示）
【问题3】（3分）
考虑实例n=6，各个矩阵的维数：A1为5*10，A2为10*3，A3为3*12，A4为12*5，A5为5*50，A6为50*6，即维数序列为5,10,3,12,5,50,6。则根据上述C代码得到的一个最优计算顺序为 （7） （用加括号方式表示计算顺序），所需要的乘法运算次数为 （8） 。
令ε1=(1，0，0)，ε2=(0，1，0)，ε3=(0，0，1)。证明R3中每一向量α可以唯一地表示为α=a1ε1+a2ε2+a3ε3形式，这里a1，a2，a3∈R。
阅读以下说明及Visual Basic程序代码，将应填入(n)处的字句写在对应栏内。
[说明]
本程序提供了三阶矩阵加、减及乘运算的功能。用户单击“生成操作数”按钮将随机生成两个矩阵(即操作数1和操作数2)，再单击某一矩阵运算按钮后，程序将输出相应运算的结果。程序运行界面如下：
.jpg)
开发过程中，界面上从左至右三个文本框分别取名为Text1至Text3，“生成操作数”按钮名为 CmdNew，“+”、“-”和“*”构成按钮控件组，分别名为CmdOperate(0)、CmdOperate(1)和CmdOperate(2)。
已知n阶矩阵加、减法运算法则是对应位置的元素相加、减；n阶矩阵的乘法C=AB有公式：Cij=AilBij+AilBij+…+An1Bnj其中记号Xij表示矩阵X第i行第j列上的元素。程序使用的主要变量是三维数组matrix(3，3，3)，其元素matrix(i，j，k)代表第i个矩阵j行k列上的元素，这里i，j，k均从0开始计数，第0、1、2个矩阵分别表示操作数1、操作数2和结果矩阵。
代码中用到的子过程及其功能说明如下：
(1) Sub newMatrices():随机产生矩阵运算的两个操作数；
(2) Sub printOut(txt As TextBox, i As Integcr):定义矩阵i向文本框txt的输出格式；
(3) Sub operate(operation As String):计算并输出矩阵运算结果。
[Visual Basic代码]
Dim matrix(3, 3, 3) As Integer
Sub newMatrices()
……… End Sub
Sub printOut(txt As TextBox, i As Integer)
……… End Sub
Sub operate(operation As String)
Dim i, j, k As Integer
For i = 0 To 2
For j = 0 To 2
(1)
Case"+": matrix(2, i, j) = matrix(0, i, j) + matrix(1, i, j)
Case"-": matrix(2, i, j) = matrix(0, i, j) - matrix(1, i, j)
Case"*"
matrix(2, i, j) = 0
For k = 0 To 2
matrix(2, i, j) = matrix(2, i, j) +(2)
Next
End Select
Next
Next
printOut (3)
End Sub
Private Sub CmdNew_Cliek() ’“生成操作数”按钮的单击事件响应代码
(4)
printout Text1，0
printout Text2，1
End Sub
Private Sub CmdOperale_Click(Index As Integer) ’矩阵运算按钮组的单击事件响应代码
operate CmdOperate(Index).(5)
End Sub
设p={(A1，A2)，(A1，A3))是关系R(A1，A2，A3)上的一个分解，表8-3是R上的一个关系实例r，R的函数依赖集为(52)，分解p(53)。
.jpg)
A．F={A1→A2，A1→A3}
B．F={A1→A2}
C．F={A1→A3}
D．F={A1A3→A2，A1A2→A3}
.jpg)
A.F={A1→A2，A1→A3}
B.F={A1→A2}
C.F={A1→A3}
D.F={A1A3→A2，A1A2→A3}
A.=A1^5
B.=A2+1
C.=A3+6x+1
D.=A4+1
A.是无损联接的
B.是保持函数依赖的
C.是有损联接的
D.无法确定是否保持函数依赖
线性表L=(a1，a2，a3，…ai、…an)，下列说法正确的是
A．每个元素都有一个直接前件和直接后件
B．线性表中至少要有一个元素
C．表中诸元素的排列顺序必须是由小到大或由大到小
D．除第一个元素和最后一个元素外，其余每个元素都有一个且只有一个直接前件和直接后件
