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[主观题]
证明函数分别对于每一变量x和y是连续的，但非关于二变量的连续函数.
证明函数
分别对于每一变量x和y是连续的，但非关于二变量的连续函数.
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设函数f(x,y,z)在区域
内连续.若对于Ω内任意有界子域w,都有
证明f(x,y,z)=0,其中
.
设函数z=φ(x,y)有连续偏导数,以及光滑曲线
其中t∈[a,β],a对应曲线的起点,β对应曲线的终点,若向量值函数
连续,证明:
叙述并证明二元连续函数的局部保号性.
局部保号性:若函数f(x,y)在点(x0,y0)连续,而且f(x0,y0)≠0则函数f(x,y)在点(x0,y0)的某一领域 内与f(x0,y0)同号,则存在某一正数r(f(x0,y0)＞r),使得任意(x,y)∈U(P0,δ),∣f(x,y)∣≥r＞0.
在第5题假设下,函数v=v(x,y,z)也在Ω上二阶连续可微分.证明:
(1)[格林第一公式]
(2)[格林第二公式]
设D是以光滑曲线I为边界的有界闭区域,而函数u=u(x,y)在D上具有连续的二阶偏导数、记
证明:
其中
表示函数u沿边界曲线I外法线方向的方向导数.
设一元函数f(x，y0)与f(x0，y)分别在点x0处和y0处连续，试问此时二元函数f(x，y)在点(x0，y0)处是否一定连续？反之，设f(x，y)在点(x0，y0)处连续，能否证明f(x，y0)与f(x0，y)分别在点x0处和y0处连续？
设有函数序列fn(x)(a≤x≤b,n=1,2,...证明:
(1)若每一个函数fn(x)都在区间[a,b]上连续,而丽数序列fn(x)在[a,b]上一致收敛于极限函数f(x),则函数f(x)在区间[a,b]上也连续,且
(2)若
,又每一个函数fn(x)都有连续的导数f'n(x),且导函数列f'n(x)在区间[a,b]上一致收敛,则极限函数f(x)在区间[a,b]上也有连续的导数f'(x),且
,即
[可以直接证明,也可以利用函数项级数的相应结论来证明]
是连续的,并且有连续的导数f'(x).
