设n维向量组α₁，α₂，α₃，α₄，若令，讨论β₁，β₂，β₃，β₄的线性相关性。

设n维向量组α₁，α₂，α₃，α₄，若令设n维向量组α1，α2，α3，α4，若令，讨论β1，β2，β3，β4的线性相关性。设n维向量组α1，，讨论β₁，β₂，β₃，β₄的线性相关性。

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第1题

证明：设β₁，β₂，...，β_m为n维线性空间V中线性相关的向量组，但其中任意m-1个向量皆线

性无关。设有m个数

。则或者b₁=b₂=...=b_m=0，或者b₁，b₂，...，b_m皆不为零。在后者的情形，若有另一组数c₁，c₂，...，c_m使

。

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第2题

设向量组α₁，α₂，α₃线性无关，判断向量组线性相关性并证明之

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第3题

设V是对于非退化对称双线性函数f（α，β)的n维准欧氏空间，V的一组基ε₁，...，ε_n如果满足则

设V是对于非退化对称双线性函数f(α，β)的n维准欧氏空间，V的一组基ε₁，...，ε_n如果满足

则称为V的一组正交基。如果V上的线性变换满足

则称为V的一个准正交变换。试证：

1)准正交变换是可逆的，且逆变换也是准正交变换;

2)准正交变换的乘积仍是准正交变换;

3)准正交变换的特征向量α，若满足f(α，α)≠0，则其特征值等于1或-1;

4)准正交变换在正交基下的矩阵T满足

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第4题

证明：（替换定理)设向量组α₁，α₂，···，α_r线性无关，可经向量组β₁，β₂，···，β_s

证明：(替换定理)设向量组α₁，α₂，···，α_r线性无关，可经向量组β₁，β₂，···，β_s线性表出，则r≤s。且在β₁，β₂，···，β_s中存在r个向量，不妨设就是β₁，β₂，···，β_r，在用α₁，α₂，···，α_r替代它们后所得向量组等价。

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第5题

设向量组α₁，α₂，...，α_s的秩为r，在其中任取m个向量，证明：此向量组的秩≥r+m-s。

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第6题

设V是一个n维欧氏空间，它的内积为（α，β)，对V中确定的向量α，定义V上一个函数α*：α*（β)=（α，β)。1)证明：α*是V上线性函数;2)证明：V到V*的映射：α→α*是V到V*的一个同构映射。（在这个同构下，欧氏空间可看成自身的对偶空间。)

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第7题

某类产品n种品牌在某地区的市场占有率常用概率向量u=(u1，u2，…，un)表示(各分量分别表示各品牌的市场占有率，值非负，且总和为1)。市场占有率每隔一定时间的变化常用转移矩阵Pn×n表示。如果在相当长时期内，该转移矩阵的元素均是常数，又设初始时刻的市场占有率为向量u，则下一时刻的市场占有率就是uP，再下一时刻的市场占有率就是uP2，…，而且，市场占有率会逐步稳定到某个概率向量Z，即出现ZP=Z。这种稳定的市场占有率体现了转移矩阵的特征，与初始时刻的市场占有率无关。假设占领某地区市场的冰箱品牌A与B，每月市场占有率的变化可用如下常数转移矩阵来描述：

则冰箱品牌A与B在该地区最终将逐步稳定到市场占有率______。