证明由空间曲线
垂直投影到Oxy平面所形成的柱面的面积公式为
这里假设x'(t),y'(t),z'(t)在[T1,T2]上连续,且z(t)≥0.
将积分化为极坐标系中的累次积分,其中D分别是:
(1)由直线y=x、x=2y和x=2所围成的区域;
(2)由曲线x2+y2=4y、x2+y2=8y和直线y=x、y=√3x所围成的区域;
(3)圆域x2+y2≤ay、x2+y2≤ax的公共部分;
(4)圆域x2+y2≤4,y2≤x2。
将二重积分按两种次序化为累次积分,积分区域D分别给定如下:
(1)D由曲线y=x3与直线y=1,x=-1所围成,如图7-21所示;
(2)D由圆x2+y2≤4所围成,如图7-22所示;
(3)D由直线y=2x,y=0及x=3所围成,如图7-23所示.
设f(x,y)在[a,b;c,∞)上连续,且保持同一符号,y)dy在[a,b]上连续,证明:
设对任意x>0,曲线y=f(x)上点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于,求f(x)的一般表达式。