设{un}(x)为[a,b]上正的递减且收敛于零的函数列,每个un(x)都是[a,b]上的单调函数.则级数在[a,b]上一致收敛.
设有函数序列fn(x)(a≤x≤b,n=1,2,...证明:
(1)若每一个函数fn(x)都在区间[a,b]上连续,而丽数序列fn(x)在[a,b]上一致收敛于极限函数f(x),则函数f(x)在区间[a,b]上也连续,且
(2)若,又每一个函数fn(x)都有连续的导数f'n(x),且导函数列f'n(x)在区间[a,b]上一致收敛,则极限函数f(x)在区间[a,b]上也有连续的导数f'(x),且,即
[可以直接证明,也可以利用函数项级数的相应结论来证明]
设的收敛半径为R>0,并且在收敛圆上一点绝对收敛,试证明这个级数对于所有的点z(z|≤R}为绝对收敛.
证明:若f,g均为[-π,π]上可积函数,且它们的傅里叶级数在[-π,π]上分别一致收敛于f和g,则
其中an,bn为f的傅里叶系数,an,βn为g的傅里叶系数.
试题一(共 15分)
阅读以下说明和算法,完善算法并回答问题,将解答写在答题纸的对应栏内。
[说明]
假设以二维数组G[1..m,1..n]表示一幅图像各像素的颜色,则G[i,j]表示区域中点(i,j)处的颜色,颜色值为0到k 的整数。下面的算法将指定点(i0,j0)所在的同色邻接区域的颜色置换为给定的颜色值。约定所有与点(i0,j0)同的上、下、左、右可连通的点组成同色邻接区域。
例如,一幅8×9 像素的图像如图1-1 所示。设用户指定点(3,5),其颜色值为0,此时其上方(2,5)、下方 (4,5)、右方(3,6)邻接点的颜色值都为0,因此这些点属于点(3,5)所在的同色邻接区域,再从上、下、左、右四个方向进行扩展,可得出该同色邻接区域的其他点(见图1-1 中的阴影部分)。将上述同色区域的颜色替换为颜色值7所得的新图像如图1-2 所示。
[算法]
输入:矩阵 G,点的坐标(i0,j0),新颜色值newcolor。
输出:点(i0,j0)所在同色邻接区域的颜色置换为newcolor之后的矩阵G。
算法步骤(为规范算法,规定该算法只在第七步后结束):
第一步:若点(i0,j0)的颜色值与新颜色值newcolor相同,则(1) ;
第二步:点(i0,j0)的颜色值→oldcolor;创建栈S,并将点坐标(i0,j0)入栈;
第三步:若 (2) ,则转第七步;
第四步:栈顶元素出栈→(x,y),并(3) ;
第五步:1) 若点(x,y-1)在图像中且G[x,y-1]等于oldcolor,则(x,y-1)入栈S;
2) 若点(x,y+1)在图像中且G[x,y+1]等于oldcolor,则(x,y+1)入栈S;
3) 若点(x-1,y)在图像中且G[x-1,y]等于oldcolor,则(x-1,y)入栈S;
4) 若点(x+1,y)在图像中且G[x+1,y]等于oldcolor,则(x+1,y)入栈S;
第六步:转 (4) ;
第七步:算法结束。
[问题]
是否可以将算法中的栈换成队列?回答: (5) 。
若函数f(x)在x=x0处不可导,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线.()