在向量组α1,α2,···,αr(r≥2)中ar≠0,试证:对任意的k1,k2,···,kr-1,
向量组线性无关的充要条件是α1,α2,···,αr线性无关。
向量组线性无关的充要条件是α1,α2,···,αr线性无关。
证明:(替换定理)设向量组α1,α2,···,αr线性无关,可经向量组β1,β2,···,βs线性表出,则r≤s。且在β1,β2,···,βs中存在r个向量,不妨设就是β1,β2,···,βr,在用α1,α2,···,αr替代它们后所得向量组等价。
设向量组α1,α2,...,αs的秩为r,在其中任取m个向量,证明:此向量组的秩≥r+m-s。
设且向量组α1,α2,···,αr线性无关,证明向量组β1,β2,···,βr线性无关。
设是n维实向量,且
α1,α2,···,αr线性无关。已知β=(b1,b2,···,bn)T是线性方程组
的非零解向量,试判断向量组α1,α2,···,αr,β的线性相关性。
(1)R(α1,α2...αt)=t-1.且此问量组中之一为0;
(2)R(α1,α2...αt)=t.
下列论断哪些是对的,哪些是错的,如果是对的,证明;如果是错的,举出反例:
(i)如果当,那么α1,α2,...,αr线性无关;
(ii)如果α1,α2,...,αr线性无关,而αr+1不能由α1,α2,...,αr线性表示,那么,α1,α2,...,αr,αr+1线性无关;
(iii)如果α1,α2,...,αr线性无关,那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合;
(iv)如果α1,α2,...,αr线性相关,那么其中每一个向量都是其余向量的线性组合。
设R(α1,α2,...,αs)=r,αi1,αi2,...,αis为α1,α2,...,αs中r个向量且任何αj(1≤j≤s)可被αi1,αi2,...,αis线性表出。证明:αi1,αi2,...,αis是α1,α2,...,αs的极大线性无关部分组。
令ε1=(1,0,0),ε2=(0,1,0),ε3=(0,0,1)。证明R3中每一向量α可以唯一地表示为α=a1ε1+a2ε2+a3ε3形式,这里a1,a2,a3∈R。