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[主观题]
设A是s×n实矩阵。证明：(1)r(ATA)=r(A)。(2)对任意s维列向量b，线性方程组ATAx=ATb总有解。
设A是s×n实矩阵。证明：（1)r（ATA)=r（A)。（2)对任意s维列向量b，线性方程组ATAx=ATb总有解。
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设α1，α2，…，αs都是n维列向量V=L(α1，α2，…，αs)，证明：向量组α1，α2，…，αs的极大无关组是V的基，从而dimV=r{α1，α2，…，αs}。
设
R(α1，α2，...，αs)=r
α11，α12，...，α1m是α1，α2，...，αs的部分组.证明R(α11，α12，...，α1m)≥r-m-s
设R(α1,α2,...,αs)=r,αi1,αi2,...,αis为α1,α2,...,αs中r个向量且任何αj(1≤j≤s)可被αi1,αi2,...,αis线性表出。证明:αi1,αi2,...,αis是α1,α2,...,αs的极大线性无关部分组。
证明：(替换定理)设向量组α1，α2，···，αr线性无关，可经向量组β1，β2，···，βs线性表出，则r≤s。且在β1，β2，···，βs中存在r个向量，不妨设就是β1，β2，···，βr，在用α1，α2，···，αr替代它们后所得向量组
等价。
设向量组α1，α2，...，αs的秩为r，在其中任取m个向量
，证明：此向量组的秩≥r+m-s。
(阿达马(Hadamard)不等式)。
作成一个与复数域C同构的域。
